Kutupsal Koordinatlarda Cauchy-Riemann Koşulları
Sedat Han
EFS 1(2):[34-37]
Elektronik yayın tarihi: 1 Şubat 2026
Problem: \(f(re^{i\theta})=R(r,\theta)e^{i\Phi(r,\theta)}\) fonksiyonunu kullanarak kutupsal koordinatlarda Cauchy-Riemann koşullarını elde edin. Sabit açısal hızla dönen kutupsal koordinat için yani \(\frac{\partial \theta}{\partial t}=\dot{\theta}=\) sabit durumu için aynı Cauchy-Riemann koşullarının elde edileceğini gösterin.
Şehir: Kırşehir
Email: han@shkitap.com.tr
Orijinal Problem: Arfken [9-1] (sayfa 417 de) şu problemi vermiştir: “r ve \(\theta\) nın reel fonksiyonları olan \(R(r,\theta)\) ve \(\Phi(r,\theta)\) nın oluşturduğu \(f(re^{i\theta})=R(r,\theta)e^{i\Phi(r,\theta)}\) fonksiyonunu kullanarak kutupsal koordinatlarda Cauchy-Riemann koşullarının
\[\begin{equation}\label{9.1}\tag{9.1}
(a)\hspace{4pt}\frac{\partial R}{\partial r}=\frac{R}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta},\hspace{8pt} (b)\hspace{4pt}\frac{1}{r}\frac{\partial R}{\partial \theta}=-R\frac{\partial\Phi}{\partial r},
\end{equation}\]
ile verildiğini gösterin.” Bu kitapta çözümü yapmamıştır. Cauchy-Riemann koşulları \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) şeklinde verilen analitik bir fonksiyon için şöyle verilmiştir [9-2]:
\[\begin{equation}\label{9.2}\tag{9.2}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},
\end{equation}\]
\[\begin{equation}\label{9.3}\tag{9.3}
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
\end{equation}\]
Kaynaklar
[9-1] Arfken, G.B., Weber, H. J., Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Akademic Press, 6. baskı, 2005.
[9-2] Karaoğlu, B., Fizik ve Mühendislikte Matematik Yöntemler, Güven Kitap Yayın Dağıtım, 3. baskı, İstanbul, 1998.